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玻色-爱因斯坦凝聚体的光学色散关系

廖宇娇 董光炯

廖宇娇, 董光炯. 玻色-爱因斯坦凝聚体的光学色散关系[J]. 华东师范大学学报(自然科学版), 2020, (2): 76-82. doi: 10.3969/j.issn.1000-5641.201922013
引用本文: 廖宇娇, 董光炯. 玻色-爱因斯坦凝聚体的光学色散关系[J]. 华东师范大学学报(自然科学版), 2020, (2): 76-82. doi: 10.3969/j.issn.1000-5641.201922013
LIAO Yujiao, DONG Guangjiong. Optical dispersion of Bose-Einstein condensates[J]. Journal of East China Normal University (Natural Sciences), 2020, (2): 76-82. doi: 10.3969/j.issn.1000-5641.201922013
Citation: LIAO Yujiao, DONG Guangjiong. Optical dispersion of Bose-Einstein condensates[J]. Journal of East China Normal University (Natural Sciences), 2020, (2): 76-82. doi: 10.3969/j.issn.1000-5641.201922013

玻色-爱因斯坦凝聚体的光学色散关系

doi: 10.3969/j.issn.1000-5641.201922013
基金项目: 国家自然科学基金(11574085, 91536218, 11834003); 上海市教委科研创新计划(2019-01-07-00-05-E00079)
详细信息
    通讯作者:

    董光炯, 男, 教授, 博士生导师, 研究方向为量子光学. E-mail:gjdong@phy.ecnu.edu.cn

  • 中图分类号: O436.3

Optical dispersion of Bose-Einstein condensates

  • 摘要: 最近的研究表明, 玻色-爱因斯坦凝聚体(Bose-Einstein Condensate, BEC)可作为量子电介质材料对光场产生反作用,实现光场-物质波的协同操控. 然而 BEC 的色散性质还没有被研究.为此, 解析得到了 BEC 对大失谐光的一阶色散和二阶色散的计算公式. 数值计算表明, BEC的折射率以及二阶色散系数与红、蓝失谐的性质有关: 在红失谐时, 折射率大于1, 且二阶色散是正常色散; 在蓝失谐时, 折射率小于1, 二阶色散为反常色散. 二阶色散系数会随着失谐量的改变而剧烈变化, 当失谐量在 GHz 数量级时, 表现为强色散介质. 一阶色散和红、蓝失谐的性质关系不大, 随着失谐量的增加, 一阶色散减小, 相应的群速度增加. 因此, 对于超短脉冲光, BEC是一种新型的色散介质.
  • 图  1  雪茄型 BEC

    Fig.  1  Cigar-shaped Bose-Einstein condensate

    图  2  折射率的空间分布: (a)Δ = –2 GHz; (b)Δ = 2 GHz.

    Fig.  2  The spatial distribution of refractive index: (a)Δ = –2 GHz; (b)Δ = 2 GHz

    图  3  折射率的空间分布: (a)Δ = –2 THz; (b) Δ = 2 THz

    Fig.  3  The spatial distribution of refractive index: (a)Δ = –2 THz; (b)Δ = 2 THz

    图  4  β1 的空间分布: (a)Δ = –2 GHz; (b)Δ = 2 GHz

    Fig.  4  The spatial distribution of β1: (a)Δ = –2 GHz; (b)Δ = 2 GHz

    图  5  β1 的空间分布: (a)Δ = –2 THz; (b)Δ = 2 THz

    Fig.  5  The spatial distribution of β1: (a)Δ = –2 THz; (b)Δ = 2 THz

    图  6  β2 的空间分布: (a)Δ = –2 GHz; (b)Δ = 2 GHz

    Fig.  6  The spatial distribution of β2: (a)Δ = –2 GHz; (b)Δ = 2 GHz

    图  7  β2 的空间分布: (a)Δ=–2 THz; (b)Δ=2 THz

    Fig.  7  The spatial distribution of β2: (a)Δ=–2 THz; (b)Δ=2 THz

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出版历程
  • 收稿日期:  2019-05-06
  • 刊出日期:  2020-03-01

玻色-爱因斯坦凝聚体的光学色散关系

doi: 10.3969/j.issn.1000-5641.201922013
    基金项目:  国家自然科学基金(11574085, 91536218, 11834003); 上海市教委科研创新计划(2019-01-07-00-05-E00079)
    通讯作者: 董光炯, 男, 教授, 博士生导师, 研究方向为量子光学. E-mail:gjdong@phy.ecnu.edu.cn
  • 中图分类号: O436.3

摘要: 最近的研究表明, 玻色-爱因斯坦凝聚体(Bose-Einstein Condensate, BEC)可作为量子电介质材料对光场产生反作用,实现光场-物质波的协同操控. 然而 BEC 的色散性质还没有被研究.为此, 解析得到了 BEC 对大失谐光的一阶色散和二阶色散的计算公式. 数值计算表明, BEC的折射率以及二阶色散系数与红、蓝失谐的性质有关: 在红失谐时, 折射率大于1, 且二阶色散是正常色散; 在蓝失谐时, 折射率小于1, 二阶色散为反常色散. 二阶色散系数会随着失谐量的改变而剧烈变化, 当失谐量在 GHz 数量级时, 表现为强色散介质. 一阶色散和红、蓝失谐的性质关系不大, 随着失谐量的增加, 一阶色散减小, 相应的群速度增加. 因此, 对于超短脉冲光, BEC是一种新型的色散介质.

English Abstract

廖宇娇, 董光炯. 玻色-爱因斯坦凝聚体的光学色散关系[J]. 华东师范大学学报(自然科学版), 2020, (2): 76-82. doi: 10.3969/j.issn.1000-5641.201922013
引用本文: 廖宇娇, 董光炯. 玻色-爱因斯坦凝聚体的光学色散关系[J]. 华东师范大学学报(自然科学版), 2020, (2): 76-82. doi: 10.3969/j.issn.1000-5641.201922013
LIAO Yujiao, DONG Guangjiong. Optical dispersion of Bose-Einstein condensates[J]. Journal of East China Normal University (Natural Sciences), 2020, (2): 76-82. doi: 10.3969/j.issn.1000-5641.201922013
Citation: LIAO Yujiao, DONG Guangjiong. Optical dispersion of Bose-Einstein condensates[J]. Journal of East China Normal University (Natural Sciences), 2020, (2): 76-82. doi: 10.3969/j.issn.1000-5641.201922013
    • 超冷原子气体在量子仿真[1-4]、精密测量[5-6]及量子信息[7-8]等领域发挥着重要的作用. 在这些研究中, 激光是对其进行操控的主要手段[9-14]. 由于超冷气体的密度通常很低, 所以超冷气体作为一种电介质对大失谐激光的反作用常常可以忽略. 然而, 近年来关于光与原子玻色-爱因斯坦凝聚相互作用研的究表明, 在某些情况下, 玻色-爱因斯坦凝聚体的反作用(又称局域场效应)可以产生可观察的效应[15-17]. 2008年, 中国科学院武汉物理与数学研究所观察到大失谐驻波对玻色-爱因斯坦凝聚体的非对称衍射现象, 且这个现象不能被以前的理论所解释[18]. 2011年, Zhu等利用局域场效应成功解释了该非对称衍射现象[19]; 2013年, 他们又进一步预言了该效应引起的玻色-爱因斯坦凝聚体在光晶格中的极化孤子现象[20]. 2016年, Bons等直接在实验中测量到了玻色-爱因斯坦凝聚体的折射率[21], 进一步证实了局域场效应的存在. 局域场效应的强度和原子数目成正比[22-23]. 通常的玻色-爱因斯坦凝聚体数目少于或等于106, 然而随着实验技术的发展, 在一些实验室, 玻色-爱因斯坦凝聚体的原子数目已经可以达到108量级[24-26], 而且原子气体的尺度达到毫米量级. 由此展望, 随着制备大数目玻色-爱因斯坦凝聚体实验技术的日渐成熟, 局域场效应在激光操控超冷气体实验中的作用将越来越重要.

      色散性质是所有电介质材料的重要光学性质. 迄今为止, 玻色-爱因斯坦凝聚体的色散性质还无人研究. 为此, 本文推导出了计算玻色-爱因斯坦凝聚体对大失谐光的一阶和二阶色散系数的公式, 利用典型的实验数据, 数值计算了这些系数. 与通常的经典光学材料的色散性质不同, 玻色-爱因斯坦凝聚体的一阶和二阶色散系数是空间变化的, 而且在某些条件下色散非常巨大.

    • 当介质的折射率和频率依赖时, 光在介质中的传播会发生色散现象, 包括相速度色散、群速度色散等. 在介质中, 光的波数为${\rm{\beta }}\left( \omega \right) = {{n}}\left( \omega \right)\frac{\omega }{c}$, 这里 n(ω) 是频率依赖的折射率, ω 是光场频率, c 是光速. 假设入射光有中心频率, 且带宽很窄,在这种情况下, 可以在中心频率 ω0 处对光的波数作泰勒展开[27], 有

      $$ {\rm{\beta }}\left( \omega \right) = {{\rm{\beta }}_0} + {{\rm{\beta }}_1}\left( {\omega - {\omega _0}} \right) + \frac{1}{2}{{\rm{\beta }}_2}{\left( {\omega - {\omega _0}} \right)^2} + \frac{1}{6}{{\rm{\beta }}_3}{\left( {\omega - {\omega _0}} \right)^3} + \cdots, $$ (1)

      其中,

      $$ {{\rm{\beta }}_m} = {\left( {\frac{{{{\rm{d}}^m}{\rm{\beta }}}}{{{\rm{d}}{\omega ^m}}}} \right)_{\omega = {\omega _0}}}\;({m = 0,1,2, \cdots }). $$ (2)

      特别地,

      $$ {{\rm{\beta }}_1} = \frac{1}{c}\left( {n + \omega \frac{{{\rm{d}}n}}{{{\rm{d}}\omega }}} \right), $$ (3)
      $$ {{\rm{\beta }}_2} = \frac{1}{c}\left( {2\frac{{{\rm{d}}n}}{{{\rm{d}}\omega }} + \omega \frac{{{{\rm{d}}^2}n}}{{{\rm{d}}{\omega ^2}}}} \right), $$ (4)

      其中, β1为群速度的倒数[27], β2 为群速度色散(Group Velocity Dispersion, GVD)[27]. 对于更高阶的色散, 本文暂不考虑.

      现在考虑一束中心频率为ω的脉冲光入射到玻色-爱因斯坦凝聚体. 根据超冷原子气体的Clausius-Mossotti关系, 可以得到凝聚体对该入射光场的折射率[23]n

      $$ {n^2} = \dfrac{{1 + 2\alpha \left\langle{\hat \psi ^† }{\hat \psi }\right\rangle \Big/{3}}}{{1 - \alpha \left\langle{\hat \psi ^† }{\hat \psi }\right\rangle\Big/{3}}}, $$ (5)

      其中, $\hat \psi $是凝聚体的宏观波函数, $\alpha = - {d^2}/\left( {{\varepsilon _0}\hbar {{\Delta }}} \right)$, ${{d}} = \left| {\overrightarrow d} \right|$, $\left| {\overrightarrow d} \right|$是电偶极跃迁矩阵元, ${{\Delta }} = \omega - {\omega _a} - $$ \delta $ 是失谐量, δ 为兰姆位移. 公式(5)适用于入射光是大失谐的情况, 通常失谐量 $\Delta\;\geqslant $1 GHz. 光场频率 ω 和跃迁频率 ωa 之差远远大于兰姆位移, 所以本文忽略兰姆位移的影响.

      由式(5)中折射率的表达式, 可以得到

      $$ \frac{{{\rm{d}}n}}{{{\rm{d}}\omega }} = - \frac{{\left( {{n^2} - 1} \right)\left( {{n^2} + 2} \right)}}{{6n{{\Delta }}}}, $$ (6)
      $$ \frac{{{{\rm{d}}^2}n}}{{{\rm{d}}{\omega ^2}}} = \frac{{\left( {{n^2} - 1} \right){{\left( {{n^2} + 2} \right)}^2}}}{{9n{{{\Delta }}^2}}} \times \frac{{3{n^2} + 1}}{{4{n^2}}}. $$ (7)

      将式(6)、式(7)代入式(3)和式(4)进而求得 β1β2与玻色-爱因斯坦凝聚体折射率 n 的关系, 即

      $$ {{\rm{\beta }}_1} = \frac{1}{c}\left( {n - \omega \frac{{\left( {{n^2} - 1} \right)\left( {{n^2} + 2} \right)}}{{6n{{\Delta }}}}} \right), $$ (8)
      $$ {{\rm{\beta }}_2} = \frac{1}{c}\left( { - \frac{{\left( {{n^2} - 1} \right)\left( {{n^2} + 2} \right)}}{{3n{{\Delta }}}} + \omega \frac{{\left( {{n^2} - 1} \right){{\left( {{n^2} + 2} \right)}^2}}}{{9n{{{\Delta }}^2}}} \times \frac{{3{n^2} + 1}}{{4{n^2}}}} \right). $$ (9)

      实际上, 式(5)中, 对大失谐光场, α 是个小量, 可以对 α 作泰勒展开, 保留 α 到一阶项, 得到

      $$ {n^2} \approx 1 + \frac{2}{3}\alpha {\left| {\hat \psi} \right|^2}{\text{. }} $$ (10)

      由于 α 和失谐量$\Delta $成反比, 所以$\Delta $越小(大), 折射率偏离1越大(小). 将式(10)代入式(8), 可以得到 β1 的近似关系

      $$ {{\rm{\beta }}_1} \approx \frac{1}{c} + \frac{{{{\rm{d}}^2}{\rm{\omega }}}}{{3c{\varepsilon _0}\hbar }}\times \frac{1}{{{{{\Delta }}^2}}}{\left| {\hat \psi} \right|^2}{\text{. }} $$ (11)

      公式(11)表明, β1–1/c–2, 所以对红、蓝失谐没有关系, 减小(增加)失谐量的大小, 可以增加(减小)一阶色散.

      利用式(9)和式(10)可以得到

      $$ {{\rm{\beta }}_2} \approx - \frac{{2{{\rm{d}}^2}{\rm{\omega }}}}{{3c{\varepsilon _0}\hbar }}\times \frac{1}{{{{{\Delta }}^3}}}{\left| {\hat \psi} \right|^2}{\text{. }} $$ (12)

      可见二阶色散近似和失谐量的立方成反比, 它会随失谐量的改变而剧烈改变, 而且红、蓝失谐对应不同性质的色散.

    • 在数值计算中, 本文考虑锂原子玻色-爱因斯坦凝聚体 D2 线跃迁[28]来研究色散. 再假设入射光场是脉冲光, 持续时间小于1 ns, 所以近似认为物质波波函数在脉冲持续时间内不随时间变化. 假设一个如图1所示的雪茄型玻色-爱因斯坦凝聚体, 这个凝聚体在横向和纵向都被谐振子势阱所束缚, 其波函数难以直接解析给出, 这里采用变分波函数[29-31]

      $$ \psi = A{{\rm{e}}^{ - \frac{{{z^2}}}{{\omega _z^2}}}}{{\rm{e}}^{ - \frac{{{\rho ^2}}}{{\omega _\rho ^2}}}}, $$ (13)

      其中, 归一化系数$A = \sqrt {\frac{N}{{{\omega _z}{\omega _\rho }^2}} \cdot {{\left( {\frac{2}{\pi }} \right)}^{3/2}}} $, ${\omega _z}$ωρ分别为BEC系统径向 z 和轴向 ρ 的波包宽度. 在数值计算中, 本文选取 ωz = 100 μm, ωρ = 20 μm, 原子数 N = 105. 图2给出了失谐量 Δ = –2 GHz(红失谐)和 Δ = 2 GHz(蓝失谐)时, 折射率 n 的空间分布. 图3给出了失谐量 Δ = –2 THz(红失谐)和 Δ = 2 THz(蓝失谐)时, 折射率 n 的空间分布. 可见在原子密度越高的地方折射率越偏离. 红失谐时, 折射率 n >1;蓝失谐时, 折射率 n <1. 折射率的大小和失谐量有关, 随着失谐量的增加, 偏离真空折射率越小. 在本文的计算中, 玻色-爱因斯坦凝聚体的折射率偏离真空折射率很小. 如要进一步提高折射率, 可以通过增加原子数目, 或者减小凝聚体的空间分布宽度以提高密度.

      图  1  雪茄型 BEC

      Figure 1.  Cigar-shaped Bose-Einstein condensate

      图  2  折射率的空间分布: (a)Δ = –2 GHz; (b)Δ = 2 GHz.

      Figure 2.  The spatial distribution of refractive index: (a)Δ = –2 GHz; (b)Δ = 2 GHz

      图  3  折射率的空间分布: (a)Δ = –2 THz; (b) Δ = 2 THz

      Figure 3.  The spatial distribution of refractive index: (a)Δ = –2 THz; (b)Δ = 2 THz

      在本文的数值计算条件下, 折射率偏离真空条件很小, 但并不意味着色散效应很小. 通过式(8)、式(9), 进一步计算了锂原子爱因斯坦凝聚体的一阶色散 β1、群速度色散 β2的空间分布关系. 失谐量Δ = ±2 GHz, 以及Δ = ±2 THz时, 一阶色散 β1的分布分别如图4图5所示. 从图4图5上看, 由于原子密度分布不均, 一阶色散在空间中的分布也不均匀, 并且和红失谐或者蓝失谐无关. 当失谐量的大小增加, 一阶色散值减小. 由于一阶色散和群速度成反比, 所以增加失谐量, 可以提高群速度. 一阶色散和失谐量的符号关系不大, β1(Δ) ≈ β1(–Δ), 与式(11)一致.

      图  4  β1 的空间分布: (a)Δ = –2 GHz; (b)Δ = 2 GHz

      Figure 4.  The spatial distribution of β1: (a)Δ = –2 GHz; (b)Δ = 2 GHz

      图  5  β1 的空间分布: (a)Δ = –2 THz; (b)Δ = 2 THz

      Figure 5.  The spatial distribution of β1: (a)Δ = –2 THz; (b)Δ = 2 THz

      失谐量 Δ = ±2 GHz, 以及失谐量 Δ = ±2 THz时, 二阶色散 β2 的分布分别如图6图7所示. 从图6图7上看, 红失谐时, 二阶色散是正常色散, 而在蓝失谐时是反常色散. 随着失谐量的减小, 二阶色散系数急剧地改变. 失谐量 Δ = ±2 THz, 二阶色散和光纤中二阶色散相当. 而在失谐量 Δ = ±2 GHz时, 二阶色散却高出约 9 个数量级左右(与式(12)一致), 这时凝聚体表现为强群速度色散.

      图  6  β2 的空间分布: (a)Δ = –2 GHz; (b)Δ = 2 GHz

      Figure 6.  The spatial distribution of β2: (a)Δ = –2 GHz; (b)Δ = 2 GHz

      图  7  β2 的空间分布: (a)Δ=–2 THz; (b)Δ=2 THz

      Figure 7.  The spatial distribution of β2: (a)Δ=–2 THz; (b)Δ=2 THz

    • 本文解析得到了玻色-爱因斯坦凝聚体对大失谐光的一阶色散和二阶色散关系. 本文的研究表明, 在红失谐的情况下, 折射率 n > 1;在蓝失谐的情况下, 折射率 n < 1. 一阶色散在空间分布形状和红蓝失谐无关, 随着失谐量的增加, 一阶色散系数减小, 相应的群速度增加. 二阶色散与红、蓝失谐的性质有关. 在红失谐的情况下, 二阶色散为正常色散;在蓝失谐的情况下, 二阶色散为反常色散. 二阶色散系数和失谐量的立方成反比, 因此会随着失谐量的改变而剧烈变化. 本文结果表明, 玻色-爱因斯坦凝聚体可以作为色散介质控制脉冲光的传输.

参考文献 (31)

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