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具有非线性收获效应的捕食者-食饵系统的空间Turing斑图

张道祥 孙光讯 胡伟 凯歌

张道祥, 孙光讯, 胡伟, 凯歌. 具有非线性收获效应的捕食者-食饵系统的空间Turing斑图[J]. 华东师范大学学报(自然科学版), 2018, (4): 9-22, 31. doi: 10.3969/j.issn.1000-5641.2018.04.002
引用本文: 张道祥, 孙光讯, 胡伟, 凯歌. 具有非线性收获效应的捕食者-食饵系统的空间Turing斑图[J]. 华东师范大学学报(自然科学版), 2018, (4): 9-22, 31. doi: 10.3969/j.issn.1000-5641.2018.04.002
ZHANG Dao-xiang, SUN Guang-xun, HU Wei, KAI Ge. Spatial Turing pattern of a predator-prey system with nonlinear harvesting effect[J]. Journal of East China Normal University (Natural Sciences), 2018, (4): 9-22, 31. doi: 10.3969/j.issn.1000-5641.2018.04.002
Citation: ZHANG Dao-xiang, SUN Guang-xun, HU Wei, KAI Ge. Spatial Turing pattern of a predator-prey system with nonlinear harvesting effect[J]. Journal of East China Normal University (Natural Sciences), 2018, (4): 9-22, 31. doi: 10.3969/j.issn.1000-5641.2018.04.002

具有非线性收获效应的捕食者-食饵系统的空间Turing斑图

doi: 10.3969/j.issn.1000-5641.2018.04.002
基金项目: 

国家自然科学基金青年项目 11302002

安徽师范大学2017年研究生科研创新与实践项目 2017cxsj040

详细信息
    作者简介:

    张道祥, 男, 博士, 副教授, 主要研究方向为微分方程理论及其应用.E-mail:zdxiang@ahnu.edu.cn

  • 中图分类号: O175.21

Spatial Turing pattern of a predator-prey system with nonlinear harvesting effect

  • 摘要: 研究了一类带有非线性食饵收获效应的捕食者-食饵系统的Turing斑图的生成及选择问题.首先利用稳定性理论给出了由交叉扩散项引起的Turing不稳定条件和分支理论分析得到了系统Turing斑图的存在区域,然后运用多重尺度分析法推导了系统的振幅方程,给出了Turing斑图的选择结果.最后利用Matlab软件对系统Turing斑图的生成和选择结果进行了数值模拟.结果展示了系统有丰富的Turing斑图,如点状、条状以及二者共存.
  • 图  1  系统(3)在$E_{\ast}=(u_{\ast}, v_{\ast})$处等倾线图, 其中$\alpha=1.5$, $\beta=0.8$, $\gamma=0.8$, $\rho=0.4$, $h=0.2$, $s=1$

    Fig.  1  Isocline diagram of system (3) around the positive equilibrium $E_{\ast}=(u_{\ast},v_{\ast})$ when $\alpha=1.5$, $\beta=0.8$, $\gamma=0.8$, $\rho=0.4$, $h=0.2$, $s=1$

    图  2  当$h$变化时, 特征值$\lambda$的实部${\rm Re}(\lambda)$与$k$的关系, 其中$\alpha=1.5$, $\beta=0.8$, $\gamma=0.8$, $\rho=0.4$, $s=1$, $d_{11}=1$, $d_{12}=1$, $d_{21}=14$, $d_{22}=15$

    Fig.  2  The relationship between Re$(\lambda)$ (the real part of the eigenvalue $\lambda$) and $k$ with $\alpha=1.5$, $\beta=0.8$, $\gamma=0.8$, $\rho=0.4$, $s=1$, $d_{11}=1$, $d_{12}=1$, $d_{21}=14$, $d_{22}=15$, and different $h$

    图  3  系统(3)的分支图, 其中$\alpha=1.5$, $\beta=0.8$, $\gamma=0.8$, $\rho=0.4$, $s=1$, $d_{11}=1$, $d_{12}=1$, $d_{22}=15$

    Fig.  3  Bifurcation diagram of system (3) when $\alpha=1.5$, $\beta=0.8$, $\gamma=0.8$, $\rho=0.4$, $s=1$, $d_{11}=1$, $d_{12}=1$, $d_{22}=15$

    图  4  系统(3)的Turing分支图. $H_{0}$:当$\phi=0$时, 六边形斑图; $H_{\pi}$:当$\phi=\pi$时, 六边形斑图; $S$:条状斑图.实线:稳定状态; 虚线:不稳定状态. $\mu_{1}=-0.008 1$, $\mu_{2}=0$, $\mu_{3}=0.125 1$, $\mu_{4}=0.522 8$

    Fig.  4  Turing bifurcation diagram of system (3). $H_{0}$: hexagonal patterns with $\phi=0$; $H_{\pi}$: hexagonal patterns with $\phi=\pi$; $S$: stripe patterns. Solid lines: stable states; dashed lines: unstable states. $\mu_{1}=-0.008 1$, $\mu_{2}=0$, $\mu_{3}=0.125 1$, $\mu_{4}=0.522 8$

    图  5  当$h=0.110$时, 食饵$u$随时间演化的空间斑图. (a)迭代$0$步; (b)迭代20 000步; (c)迭代60 000步; (d)迭代800 000步

    Fig.  5  Spatial pattern of the time evolution of the prey with $h=0.110$. (a) at the $0$th step; (b) at the 20 000th step; (c) at the 60 000th step; (d) at the 800 000th step

    图  6  当$h=0.082$时, 食饵$u$随时间演化的空间斑图. (a)迭代$0$步; (b)迭代80 000步; (c)迭代140 000步; (d)迭代800 000步

    Fig.  6  Spatial pattern of the time evolution of the prey with $h=0.082$. (a) at the $0$th step; (b) at the 80 000th step; (c) at the 140 000th step; (d) at the 800 000th step

    图  7  当$h=0.071$时, 食饵$u$随时间演化的空间斑图. (a)迭代$0$步; (b)迭代130 000步; (c)迭代170 000步; (d)迭代800 000步

    Fig.  7  Spatial pattern of the time evolution of prey with $h=0.071$. (a) at the $0$th step; (b) at the 130 000th step; (c) at the 170 000th step; (d) at the 800 000th step

    图  8  当$h=0.065$时, 食饵$u$随时间演化的空间斑图. (a)迭代$0$步; (b)迭代280 000步; (c)迭代340 000步; (d)迭代800 000步

    Fig.  8  Spatial pattern of time evolution of prey with $h=0.065$. (a) at the $0$th step; (b) at the 280 000th step; (c) at the 340 000th step; (d) at the 800 000th step

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  • 收稿日期:  2017-09-20
  • 刊出日期:  2018-07-25

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